Question

已知等差数列{a_n}中，公差d＞0，其前n项和为S_n，且满足a₂•a₃=45，a₁+a₄=14．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）通过构造一个新的数列{b_n}，是否存在一个非零常数c，使{b_n}也为等差数列；
（3）求的最大值．

Answer

（1）利用通项公式，建立关于a1，d 的方程组，并解出a1，d 可求通项公式．
（2）写出bn的表达式，根据等差数列通项公式特点：关于n的一次函数形式，确定是否存在．
（3）研究f（n）的函数性质，结合分式形式，考虑用基本不等式法求最值．
【解析】
（1）∵等差数列{an}中，公差d＞0，
∴．
（2），=，
令，即得bn=2n，数列{bn}为等差数列，
∴存在一个非零常数，使{bn}也为等差数列．
（3），
∵，
∵n∈N+，
∴n=45时，有最大值．