Question

在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，顶点S在底面内的射影O在正方形ABCD的内部（不在边上），且SO=λa，λ为常数，设侧面SAB，SBC，SCD，SDA与底面ABCD所成的二面角依次为α₁，α₂，α₃，α₄，则下列各式为常数的是
①cotα₁+cotα₂
②cotα₁+cotα₃
③cotα₂+cotα₃
④cotα₂+cotα₄
（ ）

A．①②
B．②④
C．②③
D．③④

Answer

过O点作MN⊥BC，根据二面角的定义易得∠SMO即为侧面SBC与底面ABCD所成的二面角，∠SNO即为侧面SDA与底面ABCD所成的二面角，根据余切函数的定义及SO=λa，λ为常数，易得到答案．
【解析】
过O点作MN⊥BC，则BC⊥AD
则OM，ON分别为BM，BN在底面ABCD上的射影
则∠SMO即为侧面SBC与底面ABCD所成的二面角，∠SNO即为侧面SDA与底面ABCD所成的二面角，
∴∠SMO=α1，∠SNO=α3，
故cotα1=，cotα3=
则cotα1+cotα3=+===
即cotα1+cotα3为定值
同理可得cotα2+cotα4为定值
故选B