Question

如图，在多面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，上、下两个底面ABCD和A₁B₁C₁D₁互相平行，且都是正方形，DD₁⊥底面ABCD，AB=2A₁B₁=2DD₁=2a．
（Ⅰ）求异面直线AB₁与DD₁所成的角的余弦值；
（Ⅱ）已知F是AD的中点，求证：FB₁⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，求二面角F-CC₁-B的余弦值．

Answer

解法1（几何法）：（I）过A点作AP，使AP∥DD1，且AP=DD1，连接A1P，B1P，可得∠B1AP为异面直线AB1与DD1所成的角，解三角形B1AP，即可得到异面直线AB1与DD1所成的角的余弦值；
（Ⅱ）由F为AD的中点，结合上、下两个底面ABCD和A1B1C1D1互相平行，且都是正方形，DD1⊥底面ABCD，AB=2A1B1=2DD1=2a，我们易得BC⊥FB1，FB1⊥GB1，由线面垂直的判定定理可得FB1⊥平面BCC1B1；
（Ⅲ）由（II）的结论，我们可得∠FC1B1是二面角F-CC1-B的平面角，解三角形FC1B1即可得到二面角F-CC1-B的余弦值．
解法2（向量法）：（I）以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立直角坐标系，分别求出异面直线AB1与DD1的方向向量，代入向量夹角公式，即可得到异面直线AB1与DD1所成的角的余弦值；
（Ⅱ）分别求出向量，，的坐标，根据•=0，•=0，我们可得⊥，且⊥，再由线面垂直的判定定理得到FB1⊥平面BCC1B1；
（Ⅲ）由（II）可得即为平面BCC1B1的一个法向量，求出平面FCC1的一个法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角F-CC1-B的余弦值．
（本小题满分12分）
【解析】
法1：（Ⅰ）过A点作AP，使AP∥DD1，且AP=DD1，
连接A1P，B1P，如图所示
则∠B1AP为异面直线AB1与DD1所成的角．
∴．…（3分）
（Ⅱ）∵F为AD的中点，∴BC⊥平面FB1A1，
从而BC⊥FB1．…（5分）
∵FB12+GB12=2a2+2a2=4a2=FG2，…（6分）
FB1⊥GB1
∴FB1⊥平面BCC1B1．…（7分）
（Ⅲ）由B1C1⊥平面CDD1C1，得B1C1⊥CC1．
又由（2）FB1⊥平面BCC1B1，∴由三垂线定理得，FC1⊥CC1，
∴∠FC1B1是二面角F-CC1-B的平面角．…（10分）
∵，∴．
即二面角F-CC1-B的余弦值为．…（12分）
法2：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立直角坐标系．…（2分）
（Ⅰ）∵，，
∴．…（3分）
（Ⅱ）∵，，．…（6分）
∴
∴FB1⊥平面BCC1B1．…（7分）
（Ⅲ）由（2）知，为平面BCC1B1的一个法向量．
设为平面FCC1的一个法向量，则，．
由令y1=1，⇒x1=2，z1=1．
∴．…（10分）
∴，即二面角F-CC1-B的余弦值为．…（12分）