Question

已知定义在R上的函数f（x）=ax³-3x，a为常数，且x=1是函数f（x）的一个极值点．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+f'（x）-6，x∈R，求g（x）的单调区间；
（Ⅲ） 过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）求出函数的导数，利用f′（1）=0，求出a的值；
（Ⅱ）通过函数g（x）=f（x）+f′（x）-6，x∈R，求出g（x）的表达式，通过函数的导数，利用导数为0，求出函数的单调区间；
（Ⅲ） 利用 f′（x）=3（x2-1），设切点为T（x，y），则切线的斜率相等，方程有3个解，就是函数有2个极值点，并且极大值大于0，极小值小于0，即可求m的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）f′（x）=3（ax2-1），x=1是函数f（x）的一个极值点，则f′（1）=0，
∴a-1=0，∴a=1．
又f'（x）=3（x+1）（x-1），函数f（x）在x=1两侧的导数异号，
∴a=1．…（2分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）=f（x）+f′（x）-6=x3+3x2-3x-9．
则g′（x）=3（x2+2x-1），令g′（x）=0，得x2+2x-1=0，∴．
随x的变化，g′（x）与g（x）的变化如下：

x
g′（x） + - +
g（x） 极大值 极小值

所以函数g（x）的单调增区间为和，单调减区间为．…（8分）
（Ⅲ） f′（x）=3（x2-1），设切点为T（x，y），则切线的斜率为，…（9分）
整理得2x3-3x2+m+3=0，依题意，方程有3个根．…（10分）
设h（x）=2x3-3x2+m+3，则h′（x）=6x2-6x=6x（x-1）．
令h′（x）=0，得x1=0，x2=1，则h（x）在区间（-∞，0），[1，+∞）上单调递增，
在区间（0，1）上单调递减．…（11分）
因此，，解得-3＜m＜-2．所以m的取值范围为（-3，-2）．…（14分）