Question

已知f（x）=xlnx．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）已知对任意x∈（0，1）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．

Answer

（1）对函数求导，根据导函数与0的关系写出函数的单调性和区间，讨论所给的区间和求出的单调区间之间的关系，在不同条件下做出函数的最值．
（2）根据两个函数的不等关系恒成立，先求出两个函数的最值，利用最值思想解决，主要看两个函数的最大值和最小值之间的关系，得到结果．
（3）要证明不等式成立，问题等价于证明．由（1）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是，构造新函数，得到结论．
【解析】
（1）f′（x）=lnx+1，…（1分）
当单调递减，当单调递增  …（2分）
①当时，；        …（3分）
②当，即时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，
f（x）min=f（t）=tlnt； …（4分）
所以…（5分）
（2）在两边取对数得，…（6分）
由于0＜x＜1，所以，…（7分）
令，由（1）可知，当x∈（0，1）时，（8分）
所以，即a＞-eln2．    …（9分）
（3）问题等价于证明，…（10分）
由（1）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是，当且仅当时取到，（11分）
设，则，…（12分）
易知，当且仅当x=1时取到，…（13分）
从而对一切x∈（0，+∞），都有成立．           …（14分）