Question

数列{a_n}中，若存在常数M，∀n∈N*，均有|a_n|≤M，称数列{a_n}是有界数列；把叫数列{a_n}的前n项邻差和，数列{L_n}叫数列{a_n}的邻差和数列．
（1）若数列{a_n}满足，∀n∈N*，均有|a_n+3|+|a_n-1|≤6恒成立，试证明：{a_n}是有界数列；
（2）试判断公比为q的正项等比数列{a_n}的邻差和数列{L_n}是否为有界数列，证明你的结论；
（3）已知数列{a_n}、{b_n}的邻差和{L_n}与{L'_n}均为有界数列，试证明数列{a_nb_n}的邻差和数列{L''_n}也是有界数列．

Answer

（1）利用零点，将绝对值符号化去，则式子|an+3|+|an-1|≤6可化为或或，由此可知{an}是有界数列．  
（2）由依题an＞0，q＞0，an=a1qn-1，于是|an+1-an|=|a1qn-a1qn-1|=a1qn-1|q-1|，n≥1，利用有界数列的定义，对公比q进行分类讨论即可
（3）若数列{an}、{bn}是有界数列，则存在正数M1．M2，对任意的n∈N•，有，，利用|an|=|an-an-1+an-1+an-2+…+a2-a1+a1|≤|an-an-1|+|an-1-an-2|+…+|a2-a1|+|a1|≤M1+|a1|，|bn|≤M2+|b1|，K1=M1+|a1|，K2=M2+|b2|，利用邻差和的定义即可证数列{anbn}的邻差和数列{L''n}也是有界数列．
【解析】
（1）式子|an+3|+|an-1|≤6可化为…（1分）
或…（2分）
或…（3分）
综上可知-4≤an≤2，从而|an|≤4，故{an}是有界数列．  …（4分）
（2）由依题an＞0，q＞0，an=a1qn-1，于是|an+1-an|=|a1qn-a1qn-1|=a1qn-1|q-1|，n≥1
当q=1时，显然Ln=0，故{Ln}为有界数列；      …（5分）
当q≠1时，
=a1|q-1|（1+q+q2+…+qn-1）=
当0＜q＜1时，|Ln|=Ln=a1（1-qn）＜a1，故{Ln}为有界数列；   …（7分）
当q＞1时，∀常数M（M＞0），∃n∈N*，当时，有Ln＞M，此时{Ln}不是有界数列；        …（8分）
综上可知，当0＜q≤1时，{Ln}为有界数列，当q＞1时，{Ln}不是有界数列．…（9分）
（3）若数列{an}{bn}是有界数列，则存在正数M1，M2，对任意的n∈N*，有，…（10分）
注意到|an|=|an-an-1+an-1+an-2+…+a2-a1+a1|≤|an-an-1|+|an-1-an-2|+…+|a2-a1|+|a1|≤M1+|a1|…（11分）
同理：|bn|≤M2+|b1|
记K1=M1+|a1|，K2=M2+|b2|
|an+1bn+1-anbn|=|an+1bn+1-anbn+1+anbn+1-anbn|≤|bn+1||an+1-an|+|an||bn+1-bn|≤K2|an+1-an|+K1|bn+1-bn|…（12分）
因此 =
故数列{anbn}的邻差和数列{L''n}也是有界数列．         …（14分）