Question

已知真命题：过椭圆左顶点A（-a，0）作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于另外两点M、N，则直线MN过定点．类比此命题，写出关于抛物线y²=2px（p＞0）的一个真命题：    ．

Answer

由类比推理，来得到关于抛物线的类似结论，易知在抛物线中有“过抛物线y2=2px（p＞0）的顶点O作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于另外两点M、N，则直线MN过定点P（2p，0）”求解即可．
【解析】
已知过椭圆左顶点A（-a，0）作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于另外两点M、N，则直线MN过定点．
类比此命题，取特殊的抛物线：直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点，O为抛物线的顶点，若OA⊥OB．证明：直线l过定点如下：
证明：设点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）
（I）当直线l有存在斜率时，设直线方程为y=kx+b，显然k≠0且b≠0．（2分）
联立方程得：消去y得k2x2+（2kb-2）x+b2=0
由题意：（5分）
又由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0，（7分）
即 ，解得b=0（舍去）或b=-2k（9分）
故直线l的方程为：y=kx-2k=k（x-2），故直线过定点（2，0）（11分）
（II）当直线l不存在斜率时，设它的方程为x=m，显然m＞0
联立方程得：解得 ，即y1y2=-2m
又由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0，即m2-2m=0，解得m=0（舍去）或m=2
可知直线l方程为：x=2，故直线过定点（2，0）
综合（1）（2）可知，满足条件的直线过定点（2，0）．
故写出关于抛物线y2=2px（p＞0）的一个真命题：过抛物线y2=2px（p＞0）的顶点O作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于另外两点M、N，则直线MN过定点P（2p，0）
故答案为：过抛物线y2=2px（p＞0）的顶点O作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于另外两点M、N，则直线MN过定点P（2p，0）．