Question

下面四个命题：①命题“∃x∈R，x²-x＞0”的否定是“∀x∈R，x²-x≤0”；
②把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位，得到y=3sin2x的图象；
③函数f（x）=ax²-lnx的图象在x=1处的切线平行于直线y=x，则（，+∞）是f（x）的单调递增区间；
④正方体的内切球与其外接球的表面积之比为1：3；
其中所有正确命题的序号为    ．

Answer

根据含有量词的命题的否定的方法，得到①正确；根据函数图象平移的规律，得到②错误；根据导数的几何意义，结合利用导数判断函数单调性的方法，得到③正确；根据正方体的结构特征，结合球的表面积公式，得到④正确．
【解析】
对于①，它是一个含有量词的命题
“∃x∈R，x2-x＞0”即“存在x∈R，使得x2-x＞0成立”，其否定应该是不存在满足条件的x．
也就是说，对于任意的x∈R，都有x2-x≤0，即“∀x∈R，x2-x≤0”，故①正确；
对于②，设F（x）=3sin（2x+），图象向右平移个单位，应该得到F（x-）=3sin（2x-），
而不是y=3sin2x的图象，故②错误；
对于③，若函数f（x）=ax2-lnx的图象在x=1处的切线平行于直线y=x，
说明f′（1）=1，而
所以2a-1=1，得a=1，函数表达式为f（x）=x2-lnx
∴，当x∈（，+∞），f′（x）＞0，函数为增函数，故③正确；
对于④，设正方体的棱长为a，则它的内切球半径为，表面积为=4πa2，
而正方体的外接球半径为，可得外接球的表面积为=12πa2
∴内切球与其外接球的表面积之比为1：3，故④正确
故答案为：①③④