Question

设x，y∈R，i，j为直角坐标平面内x，y轴正方向上的单位向量，若a=（x+1）i+yj，b=（x-1）i+yj，|a|+|b|=4．
（I）求点M（x，y）的轨迹C的方程；
（II）过点（0，m）作直线l与曲线C交于A，B两点，若||=|-|，求m的取值范围．

Answer

（1）将两向量的模用坐标表示出来，探究发现点M到两个定点之间的距离和为4，符合椭圆的定义．用定义法写出其标准方程即可．
（2）由||=|-知以，为邻边的四边形是矩形．故可得∵，将此关系转移成用坐标表示的方程，将此方程转化成关于m的不等式，即可解出m的取值范围．
【解析】
（I）∵a=（x+1）i+yj，b=（x-1）i+yj
又|a|+|b|=4
∴
∴点M（x，y）的轨迹C是以（-1，0）、（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆，故椭圆方程为（5分）
（II）若||=|-|，，则以，为邻边的平行四边形是矩形
设直线l的方程为y=kx+m，l与C的交点A（x1，y1）、B（x2，y2）
∵∴x1x2+y1y2=0    （*）
由
得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0
∵
y1y2=k2x1x2+km（x1+x2）+m2
∴
将①②代入（*）得7m2-12-12k2=0
∵12k2=7m2-12，k2≥0
∴7m2-12≥0
∴
又△＞0，得12k2-3m2+9＞0
∴7m2-12-3m2+9＞0
∴

∴（13分）