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定义在(0,+∞)上的三个函数f(x)、g(x)、h(x),已知f(x)=lnx...

定义在(0,+∞)上的三个函数f(x)、g(x)、h(x),已知f(x)=lnx,g(x)=x2-af(x),h(x)=x-amanfen5.com 满分网,且g(x)在x=1处取得极值.
(1)求a的值及h(x)的单调区间;
(2)求证:当1<x<e2时,恒有x<manfen5.com 满分网
(3)把h(x)对应的曲线C1向上平移6个单位后得到曲线C2,求C2与g(x)对应曲线C3的交点的个数,并说明道理.
(1)表示出函数g(x)后对其进行求导,将x=1代入导数g'(x)即可得到答案. (2)欲证:x<.只需证:x[2-f(x)]<2+f(x),即证:f(x)>. (3)表示出C2的解析式,h1(x),转化为求h1(x)与g(x)的交点个数即可. 【解析】 (1)由题意:g(x)=x2-af(x)=x2-alnx g'(1)=2-a=0,∴a=2 而h(x)=x-2,h'(x)=1-, 令h'(x)=1->0  得  x>1,所以 h(x)在(1,+∞)上位增函数 令h'(x)=1-<0  得  0<x<1,h(x)在(0,1)上为减函数. (2)∵1<x<e2∴0<lnx<2,∴2-lnx>0, 欲证:x<.只需证:x[2-f(x)]<2+f(x),即证:f(x)> 记k(x)=f(x)-=lnx- ∴k'(x)= ∴当x>1时,k'(x)>0∴k(x)在[1,+∞)上为增函数 ∴k(x)>k(1)=0,∴k(x)>0 即lnx->0,∴lnx> ∴结论成立 (3)由(1)知:g(x)=x2-2lnx,h(x)=x-2 ∴C2对应表达式为 ∴问题转化为求函数g(x)=x2-2lnx与交点的个数 即方程:的根的个数 即: 设,h3(x)=-x2+x+6, ∴当x∈(0,4)时,h2′(x)<0,h2(x)为减函数 当x∈(4,+∞)时,h2′(x)>0,h2(x)为增函数 而h3(x)=-x2+x+6的图象开口向下的抛物线 ∴h3(x)与h2(x)的大致图象如图: ∴h3(x)与h2(x)的交点个数为2个,即C2与C3的交点个数为2个.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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