Question

已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，其左、右焦点分别是F₁、F₂，点P是坐标平面内的一点，且|OP|=，（点O为坐标原点）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线y=x与椭圆C在第一象限交于A点，若椭圆C上两点M、N使，λ∈（0，2）求椭圆的弦-3的长度的取值范围．

Answer

（Ⅰ）可设设P（x，y），由|OP|=⇒+=①，由⇒+-c2=②，=③，
①②③⇒椭圆C的方程为：+y2=1；
（Ⅱ）解法一：由得A（，），设直线MN的方程为y=kx+m，联立方程组消去y得：（1+3k2）x2+6kmx+3m2-3=0，再设M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理可得则x1+x2=-，x1x2=，结合得：是x1+x2=，x1x2=，m=，从而用弦长公式可求得|MN|的取值范围；
解法二：由得A（，），设M（x1，y1），N（x2，y2），
则⇒x1+x2+3（y1+y2）•=0…①⇒x1+x2=λ，y1+y2=λ，代入①，
⇒kMN=-，从而可得直线MN的方程为：y-=-（x-），代入椭圆方程得：4y2-2λy+λ2-1=0，
⇒y1+y2=，y1•y2=，⇒|MN|=|y1-y2|=•，由λ∈（0，2）⇒0＜|MN|＜10．
【解析】
（Ⅰ）设P（x，y），F1（-c，0），F2（c，0），由|OP|=得：+=，…（1分）
由得：（-c-x，-y）-（c-x，-y）=，即+-c2=，…（2分）
∴c=，又因为=，
∴a2=3，b2=1 …（3分）
∴椭圆C的方程为：+y2=1；            …（4分）
（Ⅱ）解法一：由得A（，），
设直线MN的方程为y=kx+m，联立方程组消去y得：（1+3k2）x2+6kmx+3m2-3=0   …（5分）
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则x1+x2=-，x1x2=，…（6分）
∴y1+y2=k（x1+x2）+2m=，
∵，
∴x1+x2=λ，y1+y2=λ，
∴得：kMN=-，m=，
于是x1+x2=，x1x2=，…（8分）
∴|MN|=|x1-x2|==．…（10分）
又λ∈（0，2），
∴，
∴0＜4-3m2＜4，
∴0＜|MN|＜10…（12分）
解法二：由得A（，），设M（x1，y1），N（x2，y2），
则，
∴x1+x2+3（y1+y2）•=0…①…（5分）
∵，
∴x1+x2=λ，y1+y2=λ，
代入①得：kMN=-，…（6分）
设直线MN的方程为：y-=-（x-），即x=-y+，…（7分）
代入椭圆方程得：4y2-2λy+λ2-1=0，
∴y1+y2=，y1•y2=，
∴|MN|=|y1-y2|=•，…（10分）
∵λ∈（0，2）
∴0＜|MN|＜10…（12分）