Question

设数列{a_n}的前n项和为Sn，如果为常数，则称数列{a_n}为“科比数列”．
（1）等差数列{b_n}的首项为1，公差不为零，若{b_n}是“科比数列”，求{b_n}的通项公式；
（2）数列{c_n}的各项都是正数，前n项和为S_n，若C₁³+C₂³+C₃³+…C_n³=S_n²对任意n∈N^*都成立，试推断数列{c_n}是否为“科比数列”？并说明理由．

Answer

（1）设等差数列{bn}的公差为d（d≠0），，因为b1=1，所以（4k-1）dn+（2k-1）（2-d）=0．因为对任意正整数n上式恒成立，则，由此能求出数列{bn}的通项公式．
（2）由已知，当n=1时，c13=S12=c12．因为c1＞0，所以c1=1．当n≥2时，c13+c23+c33+…+cn3=Sn2，c13+c23+c33+…+cn-13=Sn-12．所以cn3=Sn2-Sn-12=（Sn-Sn-1）（Sn+Sn-1）=cn•（Sn+Sn-1）．由此能推导出数列{cn}是首项为1，公差为1的等差数列．从而得到数列{cn}不是“科比数列”．
【解析】
（1）设等差数列{bn}的公差为d（d≠0），
，因为b1=1，
则，
即2+（n-1）d=4k+2k（2n-1）d．
整理得，（4k-1）dn+（2k-1）（2-d）=0．…（4分）
因为对任意正整数n上式恒成立，
则，
解得． …（6分）
故数列{bn}的通项公式是bn=2n-1．…（7分）
（2）由已知，当n=1时，c13=S12=c12．
因为c1＞0，所以c1=1．  …（8分）
当n≥2时，c13+c23+c33+…+cn3=Sn2，
c13+c23+c33+…+cn-13=Sn-12．   
两式相减，得cn3=Sn2-Sn-12=（Sn-Sn-1）（Sn+Sn-1）=cn•（Sn+Sn-1）．
因为cn＞0，所以cn2=Sn+Sn-1=2Sn-cn．…（10分）
显然c1=1适合上式，
所以当n≥2时，cn-12=2Sn-1-cn-1．
于是cn2-cn-12=2（Sn-Sn-1）-cn+cn-1
=2cn-cn+cn-1=cn+cn-1．
因为cn+cn-1＞0，则cn-cn-1=1，
所以数列{cn}是首项为1，公差为1的等差数列．
所以不为常数，
故数列{cn}不是“科比数列”． …（14分）