Question

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，∠A₁AC=60°．
（Ⅰ）证明：BD⊥AA₁；
（Ⅱ）在直线CC₁上是否存在点P，使BP∥平面DA₁C₁？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．

Answer

（I）过A1作A1O⊥AC于点O，根据已知的面面垂直，结合平面与平面垂直的性质定理得到A1O⊥平面ABCD，因此BD⊥A1O，再由菱形的对角线互相垂直得出AC⊥BD，最后结合直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定与性质，可得BD⊥AA1；
（II）在C1C的延长线上取点P，使C1C=CP，连接BP，结合四边形A1B1CD为平行四边形，得到BB1、CC1、CP互相平行且相等，可得四边形BB1CP为平行四边形，所以存在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1．
【解析】
过A1作A1O⊥AC于点O，由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，由面面垂直的性质定理知，A1O⊥平面ABCD，
又底面为菱形，所以AC⊥BD．
…（6分）
（Ⅱ）存在这样的点P，连接B1C，因为A1B1ABDC
∴四边形A1B1CD为平行四边形．∴A1D∥B1C
在C1C的延长线上取点P，使C1C=CP，连接BP                       …（8分）
因B1BCC1，…（12分）
∴BB1CP∴四边形BB1CP为平行四边形
则BP∥B1C∴BP∥A1D∴BP∥平面DA1C1                      …（14分）