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将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠,使得平面ABD⊥平面CBD,AE⊥平面ABD,且AE=manfen5.com 满分网
(Ⅰ)求证:DE⊥AC;
(Ⅱ)求DE与平面BEC所成角的正弦值;
(Ⅲ)直线BE上是否存在一点M,使得CM∥平面ADE,若存在,求点M的位置,不存在请说明理由.

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(Ⅰ)借助空间向量来证 DE⊥AC,只需在空间直角坐标系下,证明=0 即可.以A为坐标原点AB,AD,AE所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,再写出定点E,A,B,D的坐标,求出C点坐标,向量,坐标,再计算(Ⅱ),看是否为0. (Ⅱ)DE与平面BEC所成角,也即DE与平面BCE的法向量所成角的余角,设平面BCE的法向量为=(x,y,z) 则 根据法向量与平面内任意向量垂直,即可求出平面BCE的法向量坐标,再求平面BCE的法向量与DE所成角,最后求出该角的余角即可. (III)先假设直线BE上存在一点M,使得CM∥平面ADE,向量垂直于平面ADE的法向量,再利用垂直时数量积为0来计算.如能计算出参数λ的值,则存在,否则,不存在. 【解析】 (Ⅰ)以A为坐标原点AB,AD,AE所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系 则E(0,0,),B(2,0,0)D(0,2,0), 做BD的中点F并连接CF,AF;由题意可得CF⊥BD且AF=CF= 又∵平面BDA⊥平面BDC,∴CF⊥平面BDA, 所以C的坐标为C(1,1,) ∴=(0,-2,),=(1,1,) ∴=(0,-2,)•(1,1,)=0 故DE⊥AC                                                         (Ⅱ)设平面BCE的法向量为=(x,y,z) 则 ,即∴ 令x=1得=(1,-1,)    又=(0,-2,)                           设平面DE与平面BCE所成角为θ,则 sinθ=|cos<,>|== (III)假设存在点M使得CM∥面ADE,则= =(2,0,-),∴=(2λ,0,-)  得M(2λ,0,)      又因为AE⊥平面ABD,AB⊥AD  所以AB⊥平面ADE 因为CM∥面ADE,则 即 得2λ-1=0∴λ= 故点M为BE的中点时CM∥面ADE.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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