Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD=2，侧面PAD是正三角形且与底面ABCD垂直，E是AB中点，PC与平面ABCD所成角为30？．
（1）证明：CD⊥平面PAD；
（2）求二面角P-CE-D的大小；
（3）求点D到平面PCE的距离．

Answer

（1）取AD中点O，可以得出PO⊥面ABCD，∠PCO=30°，以O为原点，OD所在直线为x轴，建立空间直角坐标系，通过得出证出后，可以证出CD⊥平面PAD
（2）分别求出平面PCE、平面DEC的一个法向量，利用两法向量的夹角求出二面角P-CE-D的大小
（3）点D到平面PCE的距离等于 在方向上的投影的绝对值．
解
（1）证明：取AD中点O．连接OP，∵△PAD为等边三角形，
∴PO⊥AD，又面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，连接OC，则
∠PCO为PC与平面ABCD所成角，∠PCO=30°．AD=2，则OP=．OC=3，
∴DC=2．以O为原点，OD所在直线为x轴，建立空间直角坐标系．则O（0，0，0）
D（1，0，0），P（0，0，），C（1，，0），E（-1，，0）
∴=（1，0，0），=（0，0，），=（0，-，0），得出
∴又OD∩OP=O，
∴CD⊥平面PAD；
（2）由（1）得=（-1，，-），=（1，2，）
设平面PCE的一个法向量为=（x，y，z），则即
取 x=1，则得为=（1，-，-），又易知平面DEC的一个法向量为=（0，0，）
∴cos＜＞==．因为二面角P-CE-D是锐二面角，所以二面角P-CE-D的大小是45°．
（3）=（0，-，0），由（2）知平面PCE的一个法向量为=（1，-，-），
在方向上的投影为==，
∴点D到平面PCE的距离为．