Question

设有抛物线C：y=-x²+x-4，通过原点O作C的切线y=mx，使切点P在第一象限．
（1）求m的值，以及P的坐标；
（2）过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q；
（3）设C上有一点R，其横坐标为t，为使DOPQ的面积小于DPQR的面积，试求t的取值范围．

Answer

（1）设出P的坐标，代入直线和抛物线方程，联立求得k，利用P在的象限判断出P的坐标和所求的斜率．
（2）过P点作切线的垂线，其方程为：y=-2x+5，代入抛物线方程，设Q点的坐标把直线与抛物线的方程联立求得x2，则y2可得，即求得Q的坐标．
（3）先设出C上的一点R，利用点到直线的距离求得其到直线PQ的距离的表达式，根据DOPQ的面积小于DPQR的面积，SDOPQ＜SDPQR，判断出OP＜d获得不等式求得t的范围．
【解析】
（1）设点P的坐标为（x1，y1），则y1=kx1①，y1=-x12+x1-4②，
①代入②，得：x12+（k-）x1+4=0
因为点P为切点，所以（k-）2-16=0，得：k=或k=
当k=时x1=-2，y1=-17；当k=时，x1=2，y1=1；
因为点P在第一象限，故所求的斜率k=，P的坐标为（2，1），
（2）过P点作切线的垂线，其方程为：y=-2x+5③，代入抛物线方程，得：
x2-x+9=0，设Q点的坐标为（x2，y2），则2x2=9，所以x2=，y2=-4，
所以Q点的坐标为（，-4）
（3）设C上有一点R（t，-t2+t-4），它到直线PQ的距离为：
d=
点O到直线PQ的距离PO=，SDOPQ=´PQ´OP，SDPQR=´PQ´d，
因为DOPQ的面积小于DPQR的面积，SDOPQ＜SDPQR，
即：OP＜d，即：＞5，
+4＞0或+14＜0
解之得：t＜或t＞
所以t的取值范围为t＜或t＞．