Question

如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，且AC=AD=DE=2AB=4，F为CD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；
（Ⅱ） 若∠CAD=90°，求三棱锥F-BCE的体积．

Answer

（Ⅰ）证法一：取DE的中点M，连接AM，FM，根据AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，可得AB∥DE，从而得到四边形ABEM是平行四边形，则AM∥BE，而AM⊄平面BCE，BE⊂平面BCE，根据线面平行的判定定理可知AM∥平面BCE，因MF∥CE，而MF⊄平面BCE，CE⊂平面BCE，同理可得MF∥平面BCE，又AM∩MF=M，根据面面平行的判定定理可知平面AMF∥平面BCE，AF⊂平面AMF，根据面面平行的性质可知AF∥平面BCE；
证法二：取CE的中点N，连接FN，BN，根据AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，可得AB∥DE，再根据CF=FD，CN=NE，可得NF∥DE，，又，则AB∥NF，AB=NF，从而四边形ABNF是平行四边形，则AF∥BN，又AF⊄平面BCE，BN⊂平面BCE，满足线面平行的三个条件，证得结论；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AF∥平面BCE，则VF-BCE=VA-BCE=VC-ABE，然后证明AC⊥平面ABED，则AC是三棱锥C-ABE的高，最后根据三棱锥的体积公式进行求解即可．
（Ⅰ）证法一：如图（1），取DE的中点M，连接AM，FM，∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE．，
∴四边形ABEM是平行四边形，∴AM∥BE
又∵AM⊄平面BCE，BE⊂平面BCE，
∴AM∥平面BCE．
∵CF=FD，DM=ME，∴MF∥CE，
又∵MF⊄平面BCE，CE⊂平面BCE，
∴MF∥平面BCE，又∵AM∩MF=M，
∴平面AMF∥平面BCE，
∵AF⊂平面AMF，
∴AF∥平面BCE．-----------------（6分）
证法二：如图（2），取CE的中点N，连接FN，BN，
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，
∵CF=FD，CN=NE，∴NF∥DE，，
又，∴AB∥NF，AB=NF，
∴四边形ABNF是平行四边形，
∴AF∥BN，又∵AF⊄平面BCE，BN⊂平面BCE，
∴AF∥平面BCE．-----------------（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），知AF∥平面BCE，
∴VF-BCE=VA-BCE=VC-ABE∵AB⊥平面ACD，∴平面ABED⊥平面ACD，
∵∠CAD=90°，即AC⊥AD，
∴AC⊥平面ABED，所以，AC是三棱锥C-ABE的高．
∵AB=2，AD=4
∴．
∴．----------------（12分）