Question

某校为了对学生的语文、英语的综合阅读能力进行分析，在全体学生中随机抽出5位学生的成绩作为样本，这5位学生的语文、英语的阅读能力等级得分（6分制）如下表：

x （语文阅读能力）	2	3	4	5	6
y （英语阅读能力）	1.5	3	4.5	5	6

（Ⅰ）如果以能力等级分数不小于3.5分作为良好的标准，若从该样本中任意抽取2名学生成绩，求这2名学生的语文、英语阅读能力均为良好的概率；
（Ⅱ）根据上表数据
（ⅰ）请画出上表数据的散点图；
（ⅱ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程．

Answer

（Ⅰ）样本中，语文、英语阅读能力均为良好的人数为3人，本题即为从5人中抽2人，恰有2人成绩良好的概率，属古典概型，事件空间共有C52个基本事件，研究事件在其中占了C32个，故概率为
（Ⅱ）（i）先建立平面直角坐标系，再将表中数据作为点的坐标描出即可
（ii）求回归直线方程的方法有两种，一种是使用公式，先设出直线方程，再利用公式求出系数a，b，即可，另一种方法就是最小二乘法，通过求函数的最小值得回归直线的系数a，b，一般情况下我们常使用第一种方法，但要知道公式才行
【解析】
（Ⅰ）设元素A（2，1.5），B（3，3），C（4，4.5），D（5，5），E（6，6）
从该样本中任意抽取2名同学的基本事件分布如下：
（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）总共有10个基本事件．
语文、英语阅读能力均为良好的基本事件包括：（C，D），（C，E），（D，E）共3个．
故2名学生的语文英语阅读能力均为良好的概率为
（Ⅱ）（ⅰ）数据的散点图如右图：

（ⅱ）设线性回归方程为，则
方法一：
==1.1=4-1.1×4=-0.4
所以线性回归方程为y=1.1x-0.4
方法二：f（a，b）=（2b+a-1.5）2+（3b+a-3）2+（4b+a-3.5）2+（5b+a-5）2+（6b+a-6）2=5a2+40a（b-1）+（2b-1.5）2+（3b-3）2+（4a-3.5）2+（5b-5）2+（6b-6）2
∴时，f（a，b）取得最小值10b2-22b+12.5
即b=1.1，a=-0.4时f（a，b）取得最小值；
所以线性回归方程为y=1.1x-0.4．