Question

函数f（x）=lg（x²-2ax+1+a）在区间（-∞，1]上单调递减，则实数a的取值范围是    ．

Answer

复合函数f（x）=lg（x2-2ax+1+a）中，对数函数y=lgx为单调递增，在区间（-∞，1]上，a的取值需令真数x2-2ax+1+a＞0，且函数u=x2-2ax+1+a在区间（-∞，1]上应单调递减，这样复合函数才能单调递减．
【解析】
令u=x2-2ax+1+a，则f（u）=lgu，
  配方得u=x2-2ax+1+a=（x-a）2 -a2+a+1，故对称轴为x=a
   如图所示：
  由图象可知当对称轴a≥1时，u=x2-2ax+1+a在区间（-∞，1]上单调递减，
  又真数x2-2ax+1+a＞0，二次函数u=x2-2ax+1+a在（-∞，1]上单调递减，故只需当x=1时，若x2-2ax+1+a＞0，则x∈（-∞，1]时，真数x2-2ax+1+a＞0，
 代入x=1解得a＜2，所以a的取值范围是[1，2）
  故答案为：[1，2）