Question

已知m∈R，研究函数的单调区间．

Answer

先利用分式函数的导数法则求出f'（x），然后化简得f'（x）=，记g（x）=-mx2-（m+3）x-3，∵ex＞0．从而只需讨论g（x）的正负即可，讨论二次项的正负以及g（x）=0有两个根的大小，从而求出函数的单调区间．
【解析】
f'（x）=
=．…（3分）
记g（x）=-mx2-（m+3）x-3，
∵ex＞0．
∴只需讨论g（x）的正负即可．
（1）当m=0时，g（x）=-3x-3．
当g（x）＞0时，x＜-1，f'（x）＞0；
当g（x）＜0时，x＞-1，f'（x）＜0．
∴当m=0时，f（x）的增区间为（-∞，-1），减区间为（-1，+∞）．…（5分）
（2）当m≠0时，g（x）=0有两个根；x1=-=-1，
①当m＜0时，x1＞x2，在区间（-∞，-1），（-，+∞）上，g（x）＞0，即f'（x）＞0．
∴f（x）在此区间上是增函数；
在区间（-1，-）上，g（x）＜0，即f'（x）＜0．
∴f（x）在此区间上是减函数；…（7分）
②当0＜m＜3时，x1＜x2，在区间（-∞，-），（-1，+∞）上，g（x）＜0，即f'（x）＜0．
∴f（x）在此区间上是减函数；在区间（-，-1）上，g（x）＞0，即f'（x）＞0．
∴f（x）在此区间上是增函数；…（9分）
当m=3时，x1=x2，在区间（-∞，-1），（-1，+∞）上，g（x）＜0，即f'（x）＜0．
∵f（x）在x=-1处连续，∴f（x）在（-∞，+∞）上是减函数；…（11分）
④当m＞3时，x1＞x2，在区间（-∞，-1），（-，+∞）上，g（x）＜0，即f'（x）＜0．
∴f（x）在此区间上是减函数；
在区间（-1，-）上，g（x）＞0，即f'（x）＞0，
∴f（x）在此区间上是增函数．…（13分）