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如图,在直角梯形ABEF中,将DCEF沿CD折起,使∠FDA=60°,得到一个空...

如图,在直角梯形ABEF中,将DCEF沿CD折起,使∠FDA=60°,得到一个空间几何体.
(1)求证:BE∥平面ADF;
(2)求证:AF⊥平面ABCD.

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(1)根据BC∥AD,CE∥DF,折叠之后平行关系不变,又因为BC⊄平面ADF,AD⊂平面ADF,所以BC∥平面ADF;同理CE∥平面ADF,又BC∩CE=C,BC,CE⊂平面BCE,根据面面平行的判定定理可知平面BCE∥平面ADF,再根据面面平行的性质可知BE∥平面ADF. (2)由于∠FDA=60°,FD=2,AD=1,根据余弦定理求出AF,而AF2+AD2=FD2,满足勾股定理则AF⊥AD,又DC⊥FD,DC⊥AD,AD∩FD=D;AD,DF⊂平面ADF,从而DC⊥平面ADE,AF⊂平面ADF,则DC⊥AF,AD∩DC=D,AD,DC⊂平面ABCD,根据线面垂直的判定定理可知AF⊥平面ABCD. 【解析】 (1)由已知条件可知BC∥AD,CE∥DF,折叠之后平行关系不变 又因为BC⊄平面ADF,AD⊂平面ADF,所以BC∥平面ADF;同理CE∥平面ADF. 又∵BC∩CE=C,BC,CE⊂平面BCE, ∴平面BCE∥平面ADF. ∴BE∥平面ADF. (2)由于∠FDA=60°,FD=2,AD=1, ∴AF2=FD2+AD2-2×FD×AD×cos∠FDA=4+1-2× 即AF= ∴AF2+AD2=FD2,∴AF⊥AD. 又∵DC⊥FD,DC⊥AD,AD∩FD=D AD,DF⊂平面ADF ∴DC⊥平面ADE,AF⊂平面ADF, ∴DC⊥AF, ∵AD∩DC=D,AD,DC⊂平面ABCD. ∴AF⊥平面ABCD.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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