Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，且a_n+1=（1+q）a_n-qa_n-1（n≥2，q≠0）．
（Ⅰ）设b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），证明{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若a₃是a₆与a₉的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n∈N^*，a_n是a_n+3与a_n+6的等差中项．

Answer

（Ⅰ）整理an+1=（1+q）an-qan-1得an+1-an=q（an-an-1）代入bn中进而可证明{bn}是等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可分别求得a2-a1，a3-a2，…an-an-1，将以上各式相加，答案可得．
（Ⅲ）由（Ⅱ），当q=1时，显然a3不是a6与a9的等差中项，判断q≠1．根据a3是a6与a9的等差中项，求得q．用q分别表示出an，an+3与an+6进而根据等差中项的性质可得结论．
【解析】
（Ⅰ）证明：由题设an+1=（1+q）an-qan-1（n≥2），得an+1-an=q（an-an-1），即bn=qbn-1，n≥2．
又b1=a2-a1=1，q≠0，所以{bn}是首项为1，公比为q的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）a2-a1=1，a3-a2=q，
…
an-an-1=qn-2，（n≥2）．
将以上各式相加，得an-a1=1+q++qn-2（n≥2）．
所以当n≥2时，
上式对n=1显然成立．
（Ⅲ）由（Ⅱ），当q=1时，显然a3不是a6与a9的等差中项，故q≠1．
由a3-a6=a9-a3可得q5-q2=q2-q8，由q≠0得q3-1=1-q6，①
整理得（q3）2+q3-2=0，解得q3=-2或q3=1（舍去）．于是．
另一方面，，．
由①可得an-an+3=an+6-an，n∈N*．
所以对任意的n∈N*，an是an+3与an+6的等差中项．