Question

已知函数f（x）=x³+mx²+nx-2的图象过点（-1，-6），且函数g（x）=f′（x）+6x的图象关于y轴对称．
（Ⅰ）求m、n的值及函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a＞0，求函数y=f（x）在区间（a-1，a+1）内的极值．

Answer

（Ⅰ）利用条件的到两个关于m、n的方程，求出m、n的值，再找函数y=f（x）的导函数大于0和小于0对应的区间即可．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，分情况讨论区间（a-1，a+1）和单调区间的位置关系再得结论．
【解析】
（Ⅰ）由函数f（x）图象过点（-1，-6），得m-n=-3，①
由f（x）=x3+mx2+nx-2，得f′（x）=3x2+2mx+n，
则g（x）=f′（x）+6x=3x2+（2m+6）x+n；
而g（x）图象关于y轴对称，所以-=0，所以m=-3，
代入①得n=0．
于是f′（x）=3x2-6x=3x（x-2）．
由f′（x）＞得x＞2或x＜0，
故f（x）的单调递增区间是（-∞，0），（2，+∞）；
由f′（x）＜0得0＜x＜2，
故f（x）的单调递减区间是（0，2）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=3x（x-2），
令f′（x）=0得x=0或x=2．
当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：

由此可得：
当0＜a＜1时，f（x）在（a-1，a+1）内有极大值f（O）=-2，无极小值；
当a=1时，f（x）在（a-1，a+1）内无极值；
当1＜a＜3时，f（x）在（a-1，a+1）内有极小值f（2）=-6，无极大值；
当a≥3时，f（x）在（a-1，a+1）内无极值．
综上得：当0＜a＜1时，f（x）有极大值-2，无极小值，当1＜a＜3时，f（x）有极小值-6，无极大值；当a=1或a≥3时，f（x）无极值．