Question

定义一种运算△：n△m=n•a^m（m，n∈N，a≠0）
（1）若数列{a_n}（n∈N^*）满足a_n=n△m，当m=2时，求证：数列{a_n}为等差数列；
（2）设数列{c_n}（n∈N^*）的通项满足c_n=n△（n-1），试求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）先求出通项公式，再写出第n+1项，证明第n+1项与第n项的差是个常数．
（2）写出cn的表达式，当a=1时，数列{cn}是个等差数列易求出它的前n项和，
当a≠1时，用错位相减法求出它的前n项和．
（1）证明：由题意知当m=2时，an=n△m=a2•n，
则有an+1=a2•（n+1）   （2分）
故有an+1-an=a2，（n∈N*），其中a1=1△2=a2，（3分）
所以数列{an}是以a1=a2为首项，公差d=a2的等差数列．（4分）

（2）依题意有，cn=n△（n-1）=n•an-1，（n∈N*），（5分）
所以，当a=1时，；（7分）
当a≠1时，Sn=1•a+2•a1++（n-1）•an-2+n•an-1，（1）
所以aSn=1•a1+2•a2++（n-1）•an-1+n•an（2）（8分）
由（2）-（1）得：（1-a）Sn=1•a+1•a1++1•an-2+1•an-1-nan（9分）
得：，（n∈N*）（11分）
综上所述，（14分）