Question

设A，B分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且x=4为它的右准线．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设P为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M、N，证明点B在以MN为直径的圆内．
（此题不要求在答题卡上画图）

Answer

（Ⅰ）根据题意可求得a和c的关系，进而根据准线方程求得a和c，则b可得，进而求得椭圆的方程．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的椭圆方程可求得A，B的坐标，设出点M的坐标，代入椭圆方程，由P、A、M三点共线可以求得点P的坐标，进而表示出•根据2-x＞0判断出•＞0，进而可知∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，判断出点B在以MN为直径的圆内．
【解析】
（Ⅰ）依题意得a=2c，=4，
解得a=2，c=1，从而b=．
故椭圆的方程为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得A（-2，0），B（2，0）．
设M（x，y）．
∵M点在椭圆上，
∴y2=（4-x2）（1）
又点M异于顶点A、B，
∴-2＜x＜2，由P、A、M三点共线可以得
P（4，）．
从而=（x-2，y），=（2，）．
∴•=2x-4+=（x2-4+3y2）．（2）
将（1）代入（2），化简得•=（2-x）．
∵2-x＞0，
∴•＞0，则∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，
故点B在以MN为直径的圆内．