Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d∈R，且a≠0），且函数f（x）图象关于原点中心对称，其图象在x=3处的切线方程为8x-y-18=0，
且．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若在[0，2]上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若数列{a_n}满足a_n+1=g（a_n），a₁=2，（n∈N^*），
试证明：

Answer

（1）因为函数f（x）关于原点对称，所以f（x）=ax3+cx，f′（x）=3ax2+c，函数f（x）在x=3处的切线方程为8x-y-18=0，所以f（3）=27a+3c=6，由此导出．
（2）在[0，2]上恒成立，令，则h′（x）=x2-3x+2，令h′（x）=x2-3x+2=0，则x1=1，x2=2，再由函数的单调性导出函数h（x）在[0，2]的最小值为0，所以有0＞a2+a，即-1＜a＜0．
（3），由an+1=g（an），a1=2，所以，则有，从而证明．
【解析】
（1）因为函数f（x）关于原点对称，所以b=d=0，所以f（x）=ax3+cx，
又有f′（x）=3ax2+c，又函数f（x）在x=3处的切线方程为8x-y-18=0，
所以f′（3）=3a×9+c=8，f（3）=27a+3c=6，
所以即．

（2）在[0，2]上恒成立，即，
即证在[0，2]上恒成立，
令，则h′（x）=x2-3x+2，令h′（x）=x2-3x+2=0，
则x1=1，x2=2
则有当x＜1时，f′（x）＞0，所以f（x）在（-∞，1）递增；
当1＜x＜3时，f′（x）＜0，所以f（x）在（1，3）递减；
当x＞3时，f′（x）＞0，所以f（x）在（-∞，1）递增；
所以，
所以函数h（x）在[0，2]的最小值为0，所以有0＞a2+a，即-1＜a＜0

（3），由an+1=g（an），a1=2，
所以an+1=an2+1＞an2＞0，
所以lnan+1＞2lnan＞22lnan-1＞＞2n-1ln2，
所以，则有，
所以（14分）