Question

如图，设F是椭圆：（a＞b＞0）的左焦点，直线l为其左准线，直线l与x轴交于点P，线段MN为椭圆的长轴，已知|MN|=8，且|PM|=2|MF|．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若过点P的直线与椭圆相交于不同两点A，B，求证：∠AFM=∠BFN；
（3）（理）求三角形ABF面积的最大值．

Answer

（1）由|MN|=8，知a=4，由|PM|=2|MF|，得-a=2（a-c），由此能求出椭圆的标准方程．
（2）当AB的斜率为0时，∠AFM=∠BFM=0，满足题意．当AB方程为x=my-8，代入椭圆方程得（3m2+4）y2-48my+144=0，由KAF+KBF=0，得到∠AFM=∠BFN．故恒有∠AFM=∠BFN．
（3）（理）S△ABF=S△PBF-S△PAF=|=≤，由此能求出三角形ABF面积的最大值．
【解析】
（1）∵线段MN为椭圆的长轴，且|MN|=8，∴a=4
∵|PM|=2|MF|，
∴-a=2（a-c）
∴a2-ac=2ac-2c2，
∴2e2-3e+1=0，
解得e=或e=1（舍去）
∴c=2，b2=a2-c2=12，
∴椭圆的标准方程为=1．
（2）当AB的斜率为0时，显然∠AFM=∠BFM=0，满足题意．
当AB方程为x=my-8，代入椭圆方程整理得
（3m2+4）y2-48my+144=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，，
∴KAF+KBF=
=
==0
∴KAF+KBF=0，从而∠AFM=∠BFN  综上可知，恒有∠AFM=∠BFN．
（3）（理）∵P（-8，0），F（-2，0），∴|PF|=6，
∴|y2-y1|=
=
=，
∴S△ABF=S△PBF-S△PAF
=-
=|
=
=
≤
当且仅当3
即m2=（此时适合△＞0的条件）时取等号
∴三角形ABF面积的最大值是3．