Question

设函数f（x）=x+sinx，则对于任意实数a和b，“a+b＞0”是“f（a）+f（b）＞0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

Answer

先用定义证明出函数是R上的奇函数，再用导数可证得f（x）是定义在R的增函数．在此基础上，再讨论两个条件的充分性和必要性，则不难得到正确选项．
【解析】
∵f（-x）=-x+sin（-x）=-f（x）
∴函数f（x）是R上的奇函数
∵f′（x）=（x+sinx）′=1+cosx≥0恒成立
∴f（x）是定义在R的增函数
①充分性：当a+b＞0时，可得a＞-b
所以f（a）＞f（-b），可得f（a）＞-f（b），
所以f（a）+f（b）＞0，可得充分性成立；
②必要性：当f（a）+f（b）＞0时，可得f（a）＞-f（b），
所以f（a）＞f（-b），结合单调性，得a＞-b⇒a+b＞0
因此必要性成立
故选C