Question

设函数f（x）的定义域为D，如果对于任意的x₁∈D，存在唯一一个x₂∈D，使得f（x₁）+f（x₂）=c（c为常数）成立，则称函数f（x）在D上“与常数c关联”，现有函数 ①，②y=-x³，③，④y=ln（-x），⑤，则其中满足在其定义域上与常数1关联的所有函数是（ ）
A．①②⑤
B．①③
C．②④⑤
D．②④

Answer

对各个选项分别加以判断：根据“与常数4关联”的定义，列出方程可以解出x2关于x1表达式且情况唯一的选项是②和④
，而①和③通过解方程发现不符合这个定义，从而得出正确答案．
【解析】
① 的定义域为{x|x≠1}，设x1≠1，由+=1，可得 x2=，
当x1=2时，x2不存在，故①在其定义域上不是与常数1关联的函数． 
②y=-x3 的定义域R，设x1∈R，由-x13-x23=1，可得一定存在唯一的一个x2==-，
故②y=-x3 在其定义域上是与常数1关联的函数．
③的定义域为R，设x1=-1时，满足 +=1的 x2 不存在，
故③ 在其定义域上不是与常数1关联的函数．
④y=ln（-x）的定义域为{x|x＜0}，设x1＜0，由ln（-x1）+ln（-x2）=1，可得唯一的x2=＜0，
故④y=ln（-x）在其定义域上是与常数1关联的函数．
⑤明显不成立，因为是R上的周期函数，故在其定义域上不是与常数1关联的函数． 
故选 D．