Question

椭圆C的方程为，F₁、F₂分别为C的左、右焦点，P是C上的任意一点，给出下列结论：
①|PF₁|-|PF₂|有最大值5，②|PF₁|•|PF₂|有最大值9，③|PF₁|²+|PF₂|²有最大值18，④|PF₁|²+|PF₂|²有最大值26，其中正确结论的序号是    ．

Answer

①利用三角形两边之差小于第三边可证明当点P在x轴上时，|PF1|-|PF2|有最大值2c，由椭圆标准方程计算焦距即可；②利用椭圆定义知|PF1|+|PF2|为定值2a，再利用均值定理求积|PF1|•|PF2|的最大值即可；③利用焦半径公式设P点横坐标为x，则|PF1|2+|PF2|2可转化为关于x0的一元函数，由x的范围即可求得|PF1|2+|PF2|2的最大值；④由③的结论即可判断
【解析】
①当P点不在x轴上时，P，F1，F2，三点构成三角形，此时|PF1|-|PF2|＜|F1F2|，∵|F1F2|=4，∴|PF1|-|PF2|＜4，
当P点在x轴上时，|PF1|-|PF2|=|F1F2|=4，∴|PF1|-|PF2|≤4，即①|PF1|-|PF2|有最大值4，①错误．
②∵P点在椭圆上，∴|PF1|+|PF2|=|2a=6，
∵|PF1|＞0，|PF2|＞0，∴|PF1|•|PF2|≤=9，∴|PF1|•|PF2|有最大值9，②正确．
③根据椭圆方程，可得椭圆的离心率为
设P点横坐标为x，则|PF1|=a+ex，|PF2|=a-ex，
∴|PF1|2+|PF2|2=（a+ex）2+（a+ex）2=2a2+2e2x2=18+x2
∵P点在椭圆上，∴x2≤9，∴18+x2≤26，∴PF1|2+|PF2|2有最大值26，
∴③错误，④正确．
故答案为②④