Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点B与抛物线x²=4y的焦点重合，离心率．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l与椭圆交于M、N两点，且椭圆C的右焦点F恰为△BMN的垂心（三条高所在直线的交点），若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）因为椭圆的一个顶点B与抛物线x2=4y的焦点重合，所以b=1，又因为离心率为，所以，再根据
椭圆中a2=b2+c2，就可求出a，b，的值，得到椭圆方程．
（Ⅱ）先假设存在直线l与椭圆交于M、N两点，且椭圆C的右焦点F恰为△BMN的垂心．设出M，N坐标，由（1）中所求椭圆方程，可得F，B点坐标，利用若F为△BMN的垂心，则MF⊥BN，就可得到含x1，x2，y1，y2的等式，再设MN方程为y=x+t，
代入椭圆方程，求x1+x2，x1x2，y1+y2，y1y2，均用含t的式子表示，再代入上面所求等式中，求t，若能求出，则存在直线l与椭圆交于M、N两点，且椭圆C的右焦点F恰为△BMN的垂心，若求不出，则不存在直线l与椭圆交于M、N两点，且椭圆C的右焦点F恰为△BMN的垂心．
【解析】
（Ⅰ）设椭圆方程为，
∵抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）∴b=1
由已知得，∴，
解得
∴椭圆方程为
（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），F（1，0），B（0，1），，∴kBF=-1
∵F是垂心，∴KMN=1
∴设MN的方程为y=x+t，
代入椭圆方程后整理得：3x2+4tx+2t2-2=0
∴
将x=y-t代入椭圆方程后整理得：3y2-2ty+t2-2=0
∴
∵F是垂心，∴MF⊥BN，
∴（1-x1）x2-y1（y2-1）=0，
整理得：x1+x2-x1x2-y1y2+t=0
∴∴3t2+t-4=0
∴或t=1（舍）
∴存在直线 l，其方程为使题设成立．