Question

对于数列{a_n}，如果存在一个数列{b_n}，使得对于任意的n∈N^*，都有a_n≥b_n，则把{b_n}叫做{a_n}的“基数列”．
（Ⅰ）设a_n=-n²，求证：数列{a_n}没有等差基数列；
（Ⅱ）设a_n=n³-n²-2tn+t²，，（n∈N^*），且{b_n}是{a_n}的基数列，求t的取值范围；
（Ⅲ）设a_n=1-e^-n，，（n∈N^*），求证{b_n}是{a_n}的基数列．

Answer

（Ⅰ）假设数列{an}（an=-n2）存在等差基数列{bn}，且bn=kn+b，（k，b是实常数），则n2+kn+b≤0对于任意的n∈N*均成立，与二次函数的图象和性质相矛盾，{an}不存在等差基数列．
（Ⅱ）f（n）=an-bn=，由{bn}是{an}的基数列，知f（n）≥0任意的n∈N*均成立，令 ，当△≤0时，题设成立，；当△＞0时，解得，
由此能求出t的取值范围．
（Ⅲ）{bn}是{an}的基数列⇔an≥bn（n∈N*）⇔1-e-n≥⇔（n+1）（1-e-n）≥n⇔n+1≤en，由此能够进行证明．
【解析】
（Ⅰ）假设数列{an}（an=-n2）存在等差基数列{bn}，
且bn=kn+b，（k，b是实常数），
则-n2≥kn+b对于任意的n∈N*均成立，
即n2+kn+b≤0对于任意的n∈N*均成立，
与二次函数的图象和性质相矛盾，
所以，假设不成立，
所以{an}不存在等差基数列．…（3分）
（Ⅱ）f（n）=an-bn=，
∵{bn}是{an}的基数列，
∴f（n）≥0任意的n∈N*均成立，
令 
（1）当△≤0时，即：时，题设成立，
（2）当△＞0时，即：时，，
即二次函数f（n）的对称轴在n=1的左端，
此时，题设成立的等价条件是f（1）≥0，
即：，
即，
解得或，
∴，
由（1）（2）可知，
t的取值范围是． …（8分）
（Ⅲ）{bn}是{an}的基数列⇔an≥bn（n∈N*）⇔1-e-n≥⇔（n+1）（1-e-n）≥n⇔n+1≤en．
下面用数学归纳法证明n+1≤en：
①n=1时，1+1=2≤e，成立；
②假设n=k时，不等式成立，即k+1≤ek，
则n=k+1时，k+1+1≤ek+1＜ek+1，不等式也成立，
由①，②得n+1≤en．
∴{bn}是{an}的基数列．