Question

棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为DD₁的中点，O₁、O₂、O₃分别为平面A₁B₁C₁D₁、平面BB₁C₁C、平面ABCD的中心．
（1）求PO₂的长．
（2）求证：B₁O₃⊥PA；
（3）求异面直线PO₃与O₁O₂所成的角．

Answer

以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，写出各点的坐标．
（1）由模的公式得PO2的长．
（2）分别写出两条直线所在的向量，再根据可得B1O3⊥PA．
（3）写出两条直线所在的向量，再利用向量的运算关系求出两个向量的夹角，进而转化为两条直线的夹角．
【解析】
以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则…（2分）
则有B1（1，1，1，），O3（，0），P（0，0，），A（1，0，0），O1（，1），O2（），
于是，…（4分）
（1）由模的公式得：，
即PO2的长为…（6分）
（2）证明：因为，
所以，即B1O3⊥PA．
（3）因为O1（，1），O2（），
所以，，…（9分）
所以cos==…（11分）
∴异面直线PO3与O1O3所成角的大小arccos．…（12分）