Question

如图，椭圆=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF₁的中点，求证：∠ATM=∠AF₁T．

Answer

（I）过点A、B的直线方程为．，因为有惟一解，所以△=a2b2（a2+4b2-4）=0（ab≠0），故a2+4b2-4=0．由题意知，故所求的椭圆方程为．
（II）由（I）得，故，从而．，由，解得x1=x2=1，所以．由此可推出∠ATM=∠AF1T．
【解析】
（I）过点A、B的直线方程为．
，
因为由题意得有惟一解，
即有惟一解，
所以△=a2b2（a2+4b2-4）=0（ab≠0），
故a2+4b2-4=0．
又因为，即，
所以a2=4b2．
从而得，
故所求的椭圆方程为．
（II）由（I）得，
故，
从而．
，
由
解得x1=x2=1，
所以．
因为，
又，，
得=，
因此∠ATM=∠AF1T．