Question

如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC．
（I）求证：平面PBE⊥平面PBD；
（II）若二面角P-AB-D为45°，求直线PA与平面PBE所成角的正弦值．

Answer

（I） 连接AC交BD于点F，取PB的中点N，连接EN，FN，先证出NE∥FC，再证出FC⊥面PBD，结合面面垂直的判定定理可证平面PBE⊥平面PBD．
（II）先证明∠PAD为二面角P-AB-D 的平面角，取BC中点G，连接EG 直线PA与平面PBE所成角转化成直线EG与平面PBE所成角，运用解三角形知识求 其正弦值．
【解析】
（I）连接AC交BD于点F，取PB的中点N，连接EN，FN．

∵FBD为的中点，∴NF∥PD，NF=PD
又EC∥PD，EC=PD
∴四边形NFCE为平行四边形
∴NE∥FC
∵DB⊥AC，PD⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，∴AC⊥PD，
又PD∩BD=D，∴AC⊥PBD，即FC⊥面PBD
∴NE⊥面PBD．
（Ⅱ）∵AD⊥AB，PD⊥面ABCD，∴PD⊥AB，∴AB⊥面PAD
∴AB⊥PA．∴∠PAD为二面角P-AB-D 的平面角．．∴∠PAD=45°
设PD=AD=1，
取BC中点G，连接EG，可证 EG∥PA，∴直线EG与平面PBE所成角等于直线PA与平面PBE所成角． 
 设G到面PBE的距离为h，由V G-PBE=V P-EGB，得h•S△PBE=CD•S△EGB，CD=1  S△EGB=，S△PBE=，∴h=，EG=，
设直线EG与平面PBE所成角等于 θ，则sinθ==，∴直线PA与平面PBE所成角的正弦值为．