Question

已知椭圆E的方程为，其左焦点为F，点M（-3，0），过点F的直线（不垂直于坐标轴）与E交于A，B两点．
（I）证明：∠AMF=∠FMB；
（II）求△MAB面积S的最大值．

Answer

（I） 由  可得  （1+3k2）x2+12k2 x+12k2-6=0，求出x1+x2 和x1•x2 
的值，求得AM 和BM 的斜率之和 KAM+KBM=0，从而得到∠AMF=∠FMB  成立．
（II）由△MAB面积S= MF•|y1-y2|=•，令 t=1+3k2，t≥1  得S=•≤，从而得出结论．
【解析】
（I）证明：根据题意，设AB的直线方程为 y=k（x+2），k≠0，A （x1，y1 ），B（x2，y2），
由  可得  （1+3k2）x2+12k2 x+12k2-6=0，
∴x1+x2=，x1•x2=，
∴KAM+KBM==，
∴2x1•x2+5（x1+x2）+12=++12=0，
∴∠AMF=∠FMB  成立．
（II）求△MAB面积S= MF•|y1-y2|=•|k|• 
==•．
令 t=1+3k2，t≥1，则 S=•=•≤，
故△MAB面积S的最大值等于 ．