Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面△ABC为正三角形，AA₁⊥平面ABC，，O为BC中点．
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面AOC₁；
（Ⅱ）求直线AC与平面AOC₁所成角的正弦值．

Answer

（I）连接A1C，交AC1于D，连OD则D为A1C的中点，又O为BC的中点，推出A1B∥OD，根据线面平行的判定定理得A1B∥平面AOC1．
（II）连接B1C交OC1于E，连AE，证得OC1⊥B1C，又AO⊥面BCC1B1，得出CAE即为直线AC与平面AOC1所成角，得到所成角之后再在三角形中利用争三角形，求之即可．
【解析】
（Ⅰ）连接A1C，交AC1于D，连OD
则D为A1C的中点，
又O为BC的中点
∴A1B∥OD…．…．…．…（5分）
又A1B⊄面AOC1，OD⊂面AOC1
∴A1B∥面AOC1…．…．…．…（7分）
（II）连接B1C交OC1于E，连AE，∵，∴，∴Rt△OCC1∽Rt△CC1B1，
∴∠C1OC=∠B1CC1，∠C1OC+∠ECO=∠C1OC+∠B1CC1=90°，
∴OC1⊥B1C，又AO⊥面BCC1B1，
∴AO⊥B1C，∴B1C⊥面AOCv，∴∠CAE即为直线AC与平面AOC1所成角，
又OC=，CC1=2，∴OC1=，CE=，
∴sin∠CAE=即为所求．