Question

已知抛物线x²=4y，圆C：x²+（y-2）²=4，M（x，y），（x＞0，y＞0）为抛物线上的动点．
（Ⅰ）若y=4，求过点M的圆的切线方程；
（Ⅱ）若y＞4，求过点M的圆的两切线与x轴围成的三角形面积S的最小值．

Answer

（I）当点M坐标为（4，4）时，设切线：kx-y+4-4k=0，圆心到切线的距离，由此能求出切线方程．（Ⅱ）设切线：y-y=k（x-x），切线与x轴交于点（），圆心到切线的距离，由此能求出两切线与x轴围成的三角形面积S的最小值．
【解析】
（I）∵y=4，∴x=4，
当点M坐标为（4，4）时，设切线：y-4=k（x-4）
即kx-y+4-4k=0
圆心到切线的距离，
，
3k2-4k=0，解得k=0或k=．
∴切线方程为y=4或4x-3y-4=0．
（Ⅱ）设切线：y-y=k（x-x），
即：kx-y+y-kx=0，
切线与x轴交于点（），
圆心到切线的距离，
∴4+y2+k2x2-4y+4kx-2xyk=4k2+4，
化简得：（x2-4）k2+2x（2-y）k+y2-4y=0k2+2x（2-y）k+y2-4y=0，
设两切线斜率分别为k1，k2，
则，，

=
=
=2[]
≥
=32．
当且仅当，即y=8时取等号．
故两切线与x轴围成的三角形面积S的最小值为32．