Question

已知函数．
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若函数y=g（x）对任意x满足g（x）=f（4-x），求证：当x＞2，f（x）＞g（x）；
（3）若x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），求证：x₁+x₂＞4．

Answer

（1）先求出其导函数，利用导函数值的正负对应的区间即可求出原函数的单调区间进而求出极值；
（2），求出其导函数利用导函数的值来判断其在（2，+∞）上的单调性，进而证得结论．
（3）先由（1）得f（x）在（-∞，2）内是增函数，在（2，+∞）内是减函数，故x1、x2不可能在同一单调区间内；设x1＜2＜x2，由（2）可知f（x2）＞g（x2），即f（x1）＞f（4-x2）．再结合单调性即可证明结论．
【解析】
（1）∵f（x）=，∴f'（x）=．（2分）
令f'（x）=0，解得x=2．

x （-∞，2） 2 （2，+∞）
f'（x） + -
f（x） ↗ 极大值 ↘

∴f（x）在（-∞，2）内是增函数，在（2，+∞）内是减函数．（3分）
∴当x=2时，f（x）取得极大值f（2）=．（4分）
（2）证明：，，
∴F'（x）=．（6分）
当x＞2时，2-x＜0，2x＞4，从而e4-e2x＜0，
∴F'（x）＞0，F（x）在（2，+∞）是增函数．
∴．（8分）
（3）证明：∵f（x）在（-∞，2）内是增函数，在（2，+∞）内是减函数．
∴当x1≠x2，且f（x1）=f（x2），x1、x2不可能在同一单调区间内．
不妨设x1＜2＜x2，由（2）可知f（x2）＞g（x2），
又g（x2）=f（4-x2），∴f（x2）＞f（4-x2）．
∵f（x1）=f（x2），∴f（x1）＞f（4-x2）．
∵x2＞2，4-x2＜2，x1＜2，且f（x）在区间（-∞，2）内为增函数，
∴x1＞4-x2，即x1+x2＞4．（12分）