Question

对于任意正整数n，定义n得双阶乘“n!!”如下：当n为偶数时，n!!=n（n-2）（n-4）…6•4•2；当n为奇数时，n!!=n（n-2）（n-4）…5•3•1，现有以下四个命题：
①（2011!!）（2010!!）=2011!
②2010!!=2¹⁰⁰⁵•1005!
③2010!!的个位数是0 
④2011!!的个位数是5．
其中正确的命题的个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

根据题意，依次分析四个命题可得：对于①，将（2011!!）（2010!!）依据定义展开可得（2011!!）（2010!!）=（1•3•5•7…2009•2011）•（2•4•6•8…2008•2010），进而可等于1•2•3•4•5…2008•2009•2010•2011=2011!，故正确；对于②，2010!!=2•4•6•8•10…2008•2010，可以将其变形为21005（1•2•3•4…1005）=21005•1005!，故正确；对于③，根据双阶乘的定义，2010!!=2•4•6•8…2008•2010，其中含有10，故个位数字为0，则正确；对于④，2011!!=2011×2009×2007×…×3×1，分析易得其中连续5项乘积的个位数字为5，则2011!!的个位数字与1×3×5×7×9的个位数字相同，故其个位为5，则正确；综合可得答案．
【解析】
根据题意，依次分析四个命题可得：
对于1①，（2011!!）（2010!!）=（1•3•5•7…2009•2011）•（2•4•6•8…2008•2010）=1•2•3•4•5…2008•2009•2010•2011=2011!，故①正确；
对于②，2010!!=2•4•6•8•10…2008•2010=21005（1•2•3•4…1005）=21005•1005!，故②正确；
对于③，2010!!=2•4•6•8…2008•2010，其中含有10，故个位数字为0，则③正确；
对于④，2011!!=2011×2009×2007×…×3×1，其个位数字与1×3×5×7×9的个位数字相同，故其个位数字为5，则④正确；
四个命题都正确；
故选D．