Question

我们知道，直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别，那么直线与椭圆的位置关系有类似的判别方法吗？请同学们进行研究并完成下面的问题．
（1）设F₁、F₂是椭圆M：的两个焦点，点F₁、F₂到直线l：的距离分别为d₁、d₂，试求d₁•d₂的值，并判断直线l与椭圆M的位置关系．
（2）设F₁、F₂是椭圆M：（a＞b＞0）的两个焦点，点F₁、F₂到直线l：mx+ny+p=0（m、n不同时为零）的距离分别为d₁、d₂，且直线l与椭圆M相切，试求d₁•d₂的值．
（3）试写出一个能判断直线与椭圆的相交、相离位置关系的充要条件（不必证明）．

Answer

（1）利用点到直线的距离公式分别计算d1、d2，代入d1•d2化简，可以求出d1•d2的值，再通过直线L与椭圆方程消去y得到关于x的方程，可以求出根的差别式大于零，得到直线L与椭圆M有两个交点，是相交的位置关系；
（2）将直线方程与椭圆方程消去y，得到关于x的方程．再利用根的判别式可得△=0，从而p2=a2m2+b2n2，将其代入d1•d2的表达式化简可得d1•d2=b2；
（3）根据（2）运算得启发：直线L与椭圆M相交的充要条件为：d1d2＜b2；直线L与椭圆M相离的充要条件为：d1d2＞b2．
【解析】
（1）∵F1（-4，0），F2（4，0）到直线的距离分别为
∴
∴
∴直线l与椭圆C相交
（2）F1（-c，0），F2（c，0），直线l与椭圆M相切，点F1、F2在直线l的同侧
又
∴△=0
∴p2=b2n2+a2m2
∴
（3）设F1、F2是椭圆M：（a＞b＞0）的两个焦点，点F1、F2到直线l：mx+ny+p=0（m、n不同时为零）的距离分别为d1、d2，且点F1、F2在直线l的同侧，那么，直线l与椭圆M相交的充要条件为：d1•d2＜b2；直线l与椭圆M相离的充要条件为：d1•d2＞b2；