Question

称一个函数是“好函数”当且仅当其满足：（1）定义在R上；（2）存在a＜b，使其在（-∞，a）、（b，+∞）上单调递增，在（a，b）上单调递减．则以下函数中不是好函数的是（ ）
A．y=x|x-2|
B．y=x³-x+1
C．y=2x³-3x²-6x-1
D．y=7x⁴+28x+38

Answer

选项A，可讨论x去绝对值，然后根据二次函数可得函数的单调区间，选项B、C、D都是多项式函数，可利用导数研究函数的单调区间，然后根据“好函数”的定义进行判定即可．
【解析】
选项A，定义域为R，y=x|x-2|=
∴y=x|x-2|在（-∞，1）、（2，+∞）上单调递增，在（1，2）上单调递减，满足好函数的定义；
选项B，y=x3-x+1定义域为R，则y′=3x2-1＜0解得x∈（-，），
y′=3x2-1＞0解得x∈（-∞，-）∪（，+∞），
∴y=x3-x+1在（-∞，-）、（，+∞）上单调递增，在（-，）上单调递减，满足好函数的定义；
选项C，y=2x3-3x2-6x-1定义域为R，则y′=6x2-6x-6＜0解得x∈（，），
y′=3x2-1＞0解得x∈（-∞，）∪（，+∞），
∴y=2x3-3x2-6x-1在（-∞，）、（，+∞）上单调递增，
在（，）上单调递减，满足好函数的定义；
选项D，y=7x4+28x+38定义域为R，则y'=28x3+28＜0解得x＜-1，y'=28x3+28＞0解得x＞-1
∴y=7x4+28x+38在（-∞，-1）上单调递减，在（-1，+∞）上单调递增，不满足好函数的定义；
故选D．