Question

抛物线x²=-8y的准线与y轴交于点A．过点A作直线交抛物线于M，N两点，．点B在抛物线对称轴上，且．则的取值范围是（ ）
A．（3，+∞）
B．（4，+∞）
C．（5，+∞）
D．（6，+∞）

Answer

由题意可设直线MN的方程为y=kx+2，M （x1，x2），N（x2，y2），MN 的中点E（x，y），，联立方程可得x2+8kx+16=0，由△＞0可求k的范围，由方程的根与系数关系及中点坐标公式可求MN的中点E，由即BE⊥MN即M在MN的垂直平分线，则MN的垂直平分线与y轴的交点即是B，，令x=0可求B的纵坐标，结合K的范围可求||的范围
【解析】
由题意可得A（0，2），直线MN的斜率k存在且k≠0
设直线MN的方程为y=kx+2，M （x1，x2），N（x2，y2），MN 的中点E（x，y），
联立方程可得x2+8kx+16=0
则可得，△=64k2-64＞0，即k2＞1，x1+x2=-8k，y1+y2=k（x1+x2）+4=4-8k2
∴=-4k，=2-4k2即E（-4k，2-4k2）
∵==
又∵即BE⊥MN即M在MN的垂直平分线
则MN的垂直平分线y+4k2-2=-与y轴的交点即是B，
令x=0可得，y=-2-4k2
则=2+4k2＞6
故选D