Question

在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=2，∠ABC=120°，又顶点A₁在底面ABC上的射影落在AC上，侧棱AA₁与底面ABC成60°角，D为AC的中点．
（1）求证：BD⊥AA₁；
（2）如果二面角A₁-BD-C₁为直二面角，试求侧棱CC₁与侧面A₁ABB₁的距离．

Answer

（1）要证线线垂直，关键是证明线面垂直，利用面面垂直可得线面垂直，故可证；
（2）∠A1DC1为二面角A1-BD-C1的平面角，故∠A1DC1=90°，又∠A1AD为AA1与底面ABC所成的角，从而∠A1AD=60°．由于CC1∥侧面A1ABB1，故CC1与侧面A1ABB1的距离可转化为点C到侧面A1ABB1的距离，建立空间直角坐标系，求出面A1ABB1的法向量，利用即可求得．
证明：（1）在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，因为A1在底面ABC上射影落在AC上，则平面A1ACC1经过底面ABC的垂线 
故侧面A1C⊥面ABC．
又 BD为等腰△ABC底边AC上中线，则BD⊥AC，从而BD⊥面AC．
∴BD⊥面A1C，又AA1⊂面A1C，
∴AA1⊥BD（4分）
（2）∠A1DC1为二面角A1-BD-C1的平面角，故∠A1DC1=90°，
又∠A1AD为AA1与底面ABC所成的角，从而∠A1AD=60°，
设侧棱长为a，
由于，
则，类似地．
在Rt△A1DC1中，A1D2+DC12=A1C12，即．（8分）
这样△A1AD为等边三角形，取AD的中点O，以O为原点，如图建立空间直角坐标系．易知，
故，
设面A1ABB1的法向量为，
则，可取，
又，，
故点C到侧面A1ABB1的距离为，
而CC1∥侧面A1ABB1，故CC1与侧面A1ABB1的距离为．（12分）