Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M（1，-3），N（5，1），若动点C满足=t且点C的轨迹与抛物线y²=4x交于A，B两点．
（1）求证：⊥；
（2）在x轴上是否存在一点P（m，0）（m≠0），使得过点P的直线l交抛物线y²=4x于D，E两点，并以线段DE为直径的圆都过原点．若存在，请求出m的值及圆心M的轨迹方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）欲证两向量垂直，通过向量的坐标运算，就是证明它们的数量积为0，将直线与抛物线的方程组成方程组，利用设而不求的方法求解；
（2）对于存在性问题，可设假设存在，本题中将垂直关系合理转化，找出m的一个相等关系，从而解出了m的值，即说明存在．
【解析】
（1）由动点C满足=t，知点C的轨迹是M、N两点所在的直线，
又因为直线MN的方程为x-y-4=0
∴点C的轨迹方程为x-y-4=0
设A（x1，y1），B（x2，y2）
由 得：
x2-12x+16=0
∴x1•x2=16，x1+x2=12
又y1•y2=（x1-4）•（x2-4）=-16
∴x1•x2+y1•y2=0
∴⊥；
（2）假设存在P（m，0）（m≠0），使得过点P的直线l交抛物线y2=4x 于D，E两点，并以线段DE为直径的圆都过原点，
由题意知：弦所在的直线的斜率不为零．故设弦所在的直线方程为：x=ky+m，
代入 y2=4x 得 y2-4ky-4m=0，设D（x1，y1），E（x2，y2）
∴y1+y2=4k，y1y2=-4m．
若以弦DE为直径的圆都过原点，则OD⊥OE，∴x1x2+y1y2=0．
即 =m2-4m，解得m=0 （不合题意，舍去）或 m=4．
∴存在点P（4，0），使得过P点任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点．
设弦D，E的中点为M（x，y） 
则x=（x1+x2），y=（ y1+y2）=2k，
x1+x2=ky1+4+ky2+4=k（y1+y2）+8=4k2+8，
∴x=2k2+4，y=2k，
∴消去k得弦D，E的中点M的轨迹方程为：y2=2x-8．
∴圆心的轨迹方程为y2=2x-8．