Question

在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，其外接圆半径为6，=24，sinA+sinC=．
（1）求cosB；
（2）求△ABC的面积的最大值．

Answer

（1）利用正弦定理及条件=24，可得2（1-cosB）=sinB，再利用平方关系，从而可求得cosB；
（2）利用正弦定理及条件sinA+sinC=，可得a+c=16，利用面积公式表示面积，借助于基本不等式可求△ABC的面积的最大值．
【解析】
（1）=24⇒=24
∴2（1-cosB）=sinB  （3分）
∴4（1-cosB）2=sin2B=（1-cosB）（1+cosB）
∵1-cosB≠0，
∴4（1-cosB）=1+cosB，
∴cosB=，（6分）
（2）∵sinA+sinC=，
∴+=，即a+c=16．
又∵cosB=，∴sinB=．（8分）
∴S=acsinB=ac≤=．（10分）
当且仅当a=c=8时，Smax=．（12分）