Question

设A、B分别是x轴，y轴上的动点，P在直线AB上，且=，||=2+．
（1）求点P的轨迹E的方程；
（2）已知E上定点K（-2，0）及动点M、N满足•=0，试证：直线MN必过x轴上的定点．

Answer

（1）设P（x，y），A（xA，0），B（0，yB）．则 =（x-xA，y），=（-x，yB-y）．由=，得xA=x+，yB=y+．由||=2+，得到动点P的轨迹E的方程．
（2）设KM：y=k（x+2）（k≠0）与3x2+4y2-12=0联立，得（3+4k2）x2+16k2x+16k2-12=0，然后由根与系数的关系能够导出直线MN的方程，令y=0得直线MN必过x轴上的定点．
【解析】
（1）设P（x，y），A（xA，0），B（0，yB）．
则 =（x-xA，y），=（-x，yB-y）．
由=，
得xA=x+，yB=y+．
由||=2+，
得到动点P的轨迹E的方程．
3x2+4y2-12=0．
可得点P的轨迹E的方程：+=1（5分）
（2）设KM：y=k（x+2）（k≠0）与3x2+4y2-12=0联立
（3+4k2）x2+16k2x+16k2-12=0
设M（x1，y1），
则x+x1=-，x1=+2=
y1=k（x+2）=
∴M（，）
设KN：y=-（x+2）（k≠0），
同理可得：N（，-）（8分）
kMN==-  （k2≠1）（10分）
则MN：y-=-（x-）
化简可得y=-（x+）
即MN过定点（-，0），另MN斜率不存在时，也过（-，0）（13分）
∴直线M、N必过定点（-，0）．