Question

已知函数的定义域为，值域为[-5，4]；函数 g（x）=asinx+2bcosx，x∈R．
（1）求函数g（x）的最小正周期和最大值；
（2）当x∈[0，π]，且g（x）=5时，求tan x．

Answer

（1）利用 三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为-2a sin（2x+）+a+b，分a＞0和a＜0，根据函数的值域分别求出a、b的值，从而求得函数g（x）的最小正周期和最大值．
（2）由上可知当a＞0时，由g（x）=5sin（x+ϕ1），且tanϕ1=-，g（x）max=5，此时x+ϕ1=2kπ+（k∈Z），可得tanx=cot ϕ1=-．当a＜0时，g（x）max=＜5，故不存在
符合题意的x．
【解析】
（1）f（x）=a（1-cos2x）-sin2x+b=-a（cos2x+sin2x）+a+b=-2a sin（2x+）+a+b．----------（2分）
∵x∈，∴2x+，sin（2x+）∈．显然a=0不合题意．--------（4分）
当a＞0时，值域为[b-a，b+2a]，即．----------（6分）
当a＜0时，值域为[b+2a，b-a]，即． （8分）
 当a＞0时，g（x）=3sinx-4cosx=5sin（x+ϕ1），∴T=2π，g（x）max=5；
当a＜0时，g（x）=-3sinx+2cosx=sin（x+ϕ2），∴T=π，g（x）max=．------------（10分）
（2）由上可知，
当a＞0时，由g（x）=5sin（x+ϕ1），且tanϕ1=-，g（x）max=5，此时x+ϕ1=2kπ+（k∈Z）．
则x=2kπ+-ϕ1（k∈Z），由于 x∈（0，π），∴tanx=cot ϕ1=-．（12分）
当a＜0时，g（x）max=＜5，所以不存在符合题意的x．（13分）
综上，tan x=-．-------------------（14分）