Question

已知，在水平平面α上有一长方体AC₁绕BC旋转90得到如图所示的几何体．
（Ⅰ）证明：平面ADC₁B₁⊥平面EFC₂B₂；
（Ⅱ）当AB=BC=1时，直线CB₂与平面ADC₁B₁所成的角的正弦值为，求AA₁的长度；
（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，设旋转过程中，平面BCC₁B₁与平面α所成的角为θ，长方体AC₁的最高点离平面α的距离为f（θ），请直接写出f（θ）的一个表达式，并注明定义域．

Answer

（Ⅰ） 延长B2E交AB1于N，利用平面几何知识证出AB1⊥B2E，再结合EF⊥AB1，可证出平面AB1⊥平面EFC2B2，从而证出平面ADC1B1⊥平面EFC2B2．
（Ⅱ）以CB1，CC2，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系C-xyz，设AA1=a 利用向量的方法表示出与面ADC1B1所成的角的正弦值 通过解方程解决．
（Ⅲ）旋转过程中，平面BCC1B1与平面α所成的角为θ=∠B1BB2，最高点为A1，离平面α的距离是△A1BB2边BB2上的高，在△A1BB2中表示出即可．
【解析】
（Ⅰ）证明：延长B2E交AB1于N，
∵△ABB1≌△EBB2，
∴∠AB1B=∠EB2B，
∵∠AB1B+∠B1AB=90°，
∴∠EB2B+∠B1AB=90°，
∴∠ANB2=90°
即 AB1⊥B2E
又∵EF⊥AB1∵EF∩B2E=E
∴AB1⊥平面EFC2B2
又∵AB1⊂平面ADC1B1，
∴平面ADC1B1⊥平面EFC2B2；
（Ⅱ）如图，以CB1，CC2，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系C-xyz，
设AA1=a
∵AB=BC=1，则B2（1，a，0），A（1，-1，0），D（0，-1，0），B1（1，0，a）
∴=（1，a，0），
设平面ADC1B1的一个法向量为，
则由，取
设直线
解得a=
（Ⅲ）