Question

△ABC的三个顶点A，B，C均在椭圆上，椭圆右焦点F为△ABC的重心，则|AF|+|BF|+|CF|的值为    ．

Answer

本填空题采用取特殊位置的方法求解，设点A是椭圆短轴的上端点，设B（x1，y1），C（x2，y2）进而根据椭圆方程求得b和c，进而可求得A，F1的坐标，根据三角形的重心的性质可分别求得x1+x2和y1+y2，把B，C点代入椭圆方程后两式相减，进而求得直线BC的斜率，设出直线BC的方程，把B，C点坐标代入两式相加求得b，则直线BC方程可得，从而得出B，C的坐标，最后利用两点间的距离公式即可求得．
【解析】
设点A是椭圆短轴的上端点，B（x1，y1），C（x2，y2）．
椭圆方程得
∴b= a=2
∴c=1，则A（0， ） F（1，0）
∴=1，x1+x2=3
同理y1+y2=-
又3（x1+x2）+4（y1+y2）×k=0
∴k=，k为BC斜率
令BC直线为：y=x+m
则：y1+y2=（x1+x2）+2m
b=-
∴BC直线为：y=x-代入椭圆的方程求得B（2，-），C（1，-）．
利用两点是的距离公式得：则|AF|+|BF|+|CF|=．
故答案为：．